Jacques, j'ai du mal à comprendre ce qui te pousse à mettre en doute les affirmations de Jean-Piere alors qu'il a manifestement vérifé la justesse de ses calculs.
Delépine a écrit:En attendant Luc Lion et sans crainte d'être contredit sur les grandes lignes :
L'énergie cinétique d'un corps tombant de l'infini atteint, lorsqu'il passe à une altitude quelconque, le double de l'énergie cinétique de l'orbite circulaire à cette altitude.
Pas le quadruple.
La vitesse en chute libre depuis l'infini est par conséquent (en atteignant une altitude quelconque, zéro si l'on veut en faisant abstraction de l'atmosphère) égale à la vitesse de satellisation circulaire à cette même altitude, multipliée par racine de 2.
La vitesse du vaisseau revenant de la lune est presque égale à la vitesse de libération terrestre ; son énergie cinétique est presque double de celle d'un vaisseau en orbite circulaire basse, ou double en première approximation.
Tontonlyco a écrit:Oui mais dans cas il n'est pas question d'une chute verticale passant par le centre de la Terre mais d'une orbite elliptique accélérée par l' attraction lunaire et de visée tangentielle à la surface terrestre, attendons Luc Lion pour démêler le problème.
L' énergie cinétique au retour est de toute façon supérieure à celle d'une orbite terrestre circulaire qui elle est constante, alors qu'elle est variable sur une orbite elliptique (décroissante vers l' apogée puis croissante vers le périgée.)
Les calculs de trajectoire sont basés sur la conservation de l'énergie : Energie cinétique + énergie potentielle gravifique = constante
Pour des raisons pratiques (simplicité d'écriture) on écrit les équations en utilisant le potentiel plutôt que l'énergie, le potentiel valant l'énergie par unité de masse (du corps dont on étudie la trajectoire).
ε = Κ + U = v²/2 + (-GM/r) = cste
avec ε = potentiel total, Κ = potentiel cinétique, U = potentiel gravifique, v = vitesse du corps dont on étudie la trajectoire, et r distance entre le corps et l'objet massique primaire (la terre).
G est la constante universelle de la gravitation et M est la masse de l'objet primaire (la terre).
Chute libre depuis l'infiniPour un corps tombant en chute libre (pas de moteur, pas d'influence d'un autre objet) depuis l'infini, on a ε = 0.
En effet, à l'infini v = 0, et r = ∞
On a donc
Κ = v²/2 = GM/r
v = √(2GM/r)
A noter qu'il y a une infinité de trajectoires de chute libre depuis l'infini et elles ne sont pas toutes des droites : elles sont toutes les paraboles qui ont l'objet primaire en leur foyer.
Et une demi-droite aboutissant à l'objet n'est qu'une parabole particulière.
Orbite circulaireLes orbites elliptique et circulaires correspondent aux cas où le corps est "capturé" en orbite par l'objet primaire.
Son énergie totale est donc inférieure à 0.
ε = cste et ε < 0
Pour une même position r que dans le cas précédent, son potentiel gravifique est bien sûr identique, et donc son potentiel (ou son énergie) cinétique est moindre.
Pour une orbite circulaire, la conservation de la quantité de mouvement nous donne la valeur de cette énergie cinétique :
a = F/m = GM/r² = v²/r
où "a" est l'accélération centripète due à la force gravifique.
L'expression a = v²/r correspond à la cinématique du mouvement circulaire.
On a donc
K = v²/2 = GM/2r
v = √(GM/r)
On voit bien que l'énergie cinétique d'un corps en orbite circulaire vaut la moitié de l'énergie cinétique du même corps au même endroit mais en chute libre depuis l'infini.
Et la vitesse d'un corps en orbite circulaire vaut 1/√2 ~= 0.707 fois sa vitesse en chute libre au même endroit.
C'est exactement ce qu'à exposé Jean-Pierre.
Dans le message suivant, j'exposerai des calculs simplifiés applicables à la trajectoire d'un retour lune-terre.
Luc