Luc Lion a écrit:Avant de discuter de la trajectoire d'un retour lune-terre, il faut exposer les formules du potentiel cinétique et de la vitesse dans le cas d'une trajectoire elliptique.
Ces formules sont:
K = GM.(1/r - 1/2a)
v = √(GM.(2/r - 1/a))
Où on a : a = demi-grand axe de l'ellipse, et r = distance du corps jusqu'à l'objet massique primaire (la terre)
J'expliquerai ces deux formules plus loin.
Ceux qui sont pressés peuvent, prendre leur moteur de recherche préféré, le configurer pour la langue de recherche "latin", et taper "vis viva".
Luc
J’avais promis d’expliquer l’équation “vis viva”, mais j’ai un peu manqué de temps.
Voici l’explication avec un peu de retard.
Comme beaucoup d’équation en physique, elle est dérivée des principes de conservation.
Ici conservation de l’énergie (exprimée sous forme de potentiel) et conservation du moment cinétique.
Examinons la conservation du moment cinétique.Si on choisit le centre de l’object massique (la terre) comme point de référence, il n’y a pas de transfert de moment cinétique entre les deux corps, vu que les forces d’interaction sont alignées avec le segment de droite qui va au point de référence. Donc, par rapport au centre de la terre, le moment du point massique en orbite est constant.
L = m . v . r . sin θ = cste
Avec θ = angle entre la direction de la vitesse et la direction du point de référence (centre de la terre).
Il y a deux points très pratiques ; l’apogée (ou apoapse) et le périgée (ou périapse).
En effet v et r sont perpendiculaires en ces point et sin θ vaut donc 1.
On a
L = m . va . ra = m . vp . rp
Avec va = vitesse à l’apogée, vp = vitesse au périgée, ra = distance corps centre de la terre, à l’apogée, rp distance corps centre de la terre, au périgée.
Ce qui donne :
vp = (ra/rp) . va
Examinons la conservation du potentiel d’énergie.Nous avons déjà vu que la conservation d’énergie s’écrit sous la forme de conservation d’énergie par unité de masse ou conservation du potentiel d’énergie.
ε = Κ + U = v²/2 - GM/r = cste
Si on détermine la valeur de ε, on pourra écrire :
v² = 2(ε + GM/r)
Puisque ε reste constant, on peut écrire l’égalité du potentiel au 2 points apogée et périgée
va²/2 - GM/ra = vp²/2 - GM/rp
ou
va² - vp² = 2GM(1/ra – 1/rp)
en remplaçant : vp = (ra/rp) . va
va² - (ra/rp)² . va² = 2GM(1/ra – 1/rp)
va² . (rp² - ra²)/rp² = 2GM . ((rp – ra)/ra.rp)
on simplifie en multipliant par rp/(rp – ra)
va² . (rp + ra)/rp = 2GM . (1/ra)
Or "rp + ra", c’est la distance qui sépare l’apogée du périgée et c’est donc la longueur du grand axe de l’ellipse. Et comme a = demi-grand axe de l'ellipse, on peut remplacer :
rp + ra = 2a
et
rp = 2a – ra
On a :
va² . (2a)/(2a – ra) = 2GM . (1/ra)
va² = GM . ((2a – ra)/a.ra)
ou encore :
va² = GM . (2/ra – 1/a)
Et donc
ε = va²/2 - GM/ra = GM . (1/ra – 1/2a) – GM/ra
On a donc la formule suivant pour le potentiel total, et valable en tout point de l’ellipse :
ε = -GM/2a
Pour la vitesse (en n’importe quel point), on reprend l’égalité écrite plus haut:
v² = 2(ε + GM/r) = -GM/a + 2GM/r = GM.(2/r – 1/a)
Et
v = √(GM.(2/r - 1/a))
Comme vous le voyez, les calculs ne sont ni très longs, ni très compliqués.
Luc